【建站服务】五指山网页设计-高端网站设计公司-域名申请

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作者: 风兰 . 阅读量： 3 . 发表时间：2022-09-21 03:10:10

网站建设

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五指山网页设计-高端网站设计公司

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FT（Fast Fourier Transform），快速傅立叶变换，是一种 DFT（离散傅里叶变换）的高效算法。在以时频变换分析为基础的数字处理方法中，有着不可替代的作用。

FFT 原理

公式推导

DFT 的运算公式为：

其中，

将离散傅里叶变换公式拆分成奇偶项，则前 N/2 个点可以表示为：

同理，后 N/2 个点可以表示为：

由此可知，后 N/2 个点的值完全可以通过计算前 N/2 个点时的中间过程值确定。对 A[k] 与 B[k] 继续进行奇偶分解，直至变成 2 点的 DFT，这样就可以避免很多的重复计算，实现了快速离散傅里叶变换（FFT）的过程。

算法结构

8 点 FFT 计算的结构示意图如下。

由图可知，只需要简单的计算几次乘法和加法，便可完成离散傅里叶变换过程，而不是对每个数据进行繁琐的相乘和累加。

重要特性

(1) 级的概念

每分割一次，称为一级运算。

设 FFT 运算点数为 N，共有 M 级运算，则它们满足：

每一级运算的标识为 m = 0, 1, 2, ..., M-1。

为了便于分割计算，FFT 点数 N 的取值经常为 2 的整数次幂。

(2) 蝶形单元

FFT 计算结构由若干个蝶形运算单元组成，每个运算单元示意图如下：

蝶形单元的输入输出满足：

其中，

每一个蝶形单元运算时，进行了一次乘法和两次加法。

每一级中，均有 N/2 个蝶形单元。

故完成一次 FFT 所需要的乘法次数和加法次数分别为：

(3) 组的概念

每一级 N/2 个蝶形单元可分为若干组，每一组有着相同的结构与因子分布。

例如 m=0 时，可以分为 N/2=4 组。

m=1 时，可以分为 N/4=2 组。

m=M-1 时，此时只能分为 1 组。

(4) 因子分布因子存在于 m 级，其中。

在 8 点 FFT 第二级运算中，即 m=1 ，蝶形运算因子可以化简为：

(5) 码位倒置

对于 N=8 点的 FFT 计算，X(0) ~ X(7) 位置对应的 2 进制码为：

X(000), X(001), X(010), X(011), X(100), X(101), X(110), X(111)

将其位置的 2 进制码进行翻转：

X(000), X(100), X(010), X(110), X(001), X(101), X(011), X(111)

此时位置对应的 10 进制为：

点的 FFT 计算，X(0) ~ X(7) 位置对应的 2 进制码为：

X(000), X(001), X(010), X(011), X(100), X(101), X(110), X(111)

将其位置的 2 进制码进行翻转：

X(000), X(100), X(010), X(110), X(001), X(101), X(011), X(111)

此时位置对应的 10 进制为：

X(0), X(4), X(2), X(6), X(1), X(5), X(3), X(7)

恰好对应 FFT 第一级输入数据的顺序。

该特性有利于 FFT 的编程实现。

FFT 设计

设计说明

为了利用仿真简单的说明 FFT 的变换过程，数据点数取较小的值 8。

如果数据是串行输入，需要先进行缓存，所以设计时数据输入方式为并行。

数据输入分为实部和虚部共 2 部分，所以计算结果也分为实部和虚部。

设计采用流水结构，暂不考虑资源消耗的问题。

为了使设计结构更加简单，这里做一步妥协，乘法计算直接使用乘号。如果 FFT 设计应用于实际，一定要将乘法结构换成可以流水的乘法器，或使用官方提供的效率较高的乘法器 IP。

蝶形单元设计

蝶形单元为定点运算，需要对旋转因子进行定点量化。

借助 matlab 将旋转因子扩大 8192 倍（左移 13 位），可参考附录。

为了防止蝶形运算中的乘法和加法导致位宽逐级增大，每一级运算完成后，要对输出数据进行固定位宽的截位，也可去掉旋转因子倍数增大而带来的影响。代码如下：

实例

`timescale 1ns/100ps
/**************** butter unit *************************
Xm(p) ------------------------> Xm+1(p)
           -        ->
             -    -
                -
              -   -
            -        ->
Xm(q) ------------------------> Xm+1(q)
      Wn          -1
*//////////////////////////////////////////////////////
module butterfly
    (
     input                       clk,
     input                       rstn,
     input                       en,
     input signed [23:0]         xp_real, // Xm(p)
     input signed [23:0]         xp_imag,
     input signed [23:0]         xq_real, // Xm(q)
     input signed [23:0]         xq_imag,
     input signed [15:0]         factor_real, // Wnr
     input signed [15:0]         factor_imag,

     output                      valid,
     output signed [23:0]        yp_real, //Xm+1(p)
     output signed [23:0]        yp_imag,
     output signed [23:0]        yq_real, //Xm+1(q)
     output signed [23:0]        yq_imag);

    reg [4:0]                    en_r ;
    always @(posedge clk or negedge rstn) begin
        if (!rstn) begin
            en_r   <= 'b0 ;
        end
        else begin
            en_r   <= {en_r[3:0], en} ;
        end
    end

    //=====================================================//
    //(1.0) Xm(q) mutiply and Xm(p) delay
    reg signed [39:0] xq_wnr_real0;
    reg signed [39:0] xq_wnr_real1;
    reg signed [39:0] xq_wnr_imag0;
    reg signed [39:0] xq_wnr_imag1;
    reg signed [39:0] xp_real_d;
    reg signed [39:0] xp_imag_d;
    always @(posedge clk or negedge rstn) begin
        if (!rstn) begin
            xp_real_d    <= 'b0;
            xp_imag_d    <= 'b0;
            xq_wnr_real0 <= 'b0;
            xq_wnr_real1 <= 'b0;
            xq_wnr_imag0 <= 'b0;
            xq_wnr_imag1 <= 'b0;
        end
        else if (en) begin
            xq_wnr_real0 <= xq_real * factor_real;
            xq_wnr_real1 <= xq_imag * factor_imag;