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丹阳市，江苏省辖县级市，由镇江市代管，位于江苏省南部，介于北纬31°44′～32°08′、东经119°23′～119°53′之间，总面积1047平方公里。丹阳属亚热带季风气候，具有气候湿润、光照充足、雨量丰沛、无霜期长、四季分明的气候特征。截至2019年，丹阳市辖2个街道、10个镇。常住人口80.63 万人。 [1] 

丹阳建置始于战国时期，初为云阳邑。《山海经》中有一条河叫“丹水”，即丹江，根据“山水阴阳，水北为阳”的理论命名丹阳。 [2]  1987年12月，丹阳撤县设市，为丹阳市，由镇江市代管。丹阳市与常州市新北区交界处建有常州奔牛国际机场，沪宁高速公路（G42沪蓉高速）、312国道、122省道、338省道等是通过公路出入丹阳的主要干道，水运有京杭大运河纵贯丹阳，大港港口是对外开放的长江第三大港。 [3] 

2019年，丹阳市实现地区生产总值1121.99亿元，同比增长4.7%。 [4]  2018年12月，入选全国县域经济综合竞争力100强，2018中国大陆最佳商业城市100强、中国最佳县级城市30强。 [5]  2019年10月8日，被评为2019年度全国综合实力百强县市。 [6]  2019全国营商环境百强县。 [7]  2019年国家卫生城市。 [8]  2020年12月，社科院发布《全国县域经济综合竞争力100强》，丹阳排名第40 [9]  。

数学

链式法则在这些函数中的应用方式与前面各节介绍的方式相同。由于  是嵌套函数，因此可以这样计算导数：

当然， 的计算公式与此相同。

现在要注意：

无论 （或 ）的值如何，x（或 ）每增加一单位， 都会增加一单位。

基于这一点，稍后可以通过编写代码来计算这样一个函数的导数。

示意图

从概念上讲，计算多输入函数的导数与计算单输入函数的导数所用的方法是相同的：计算每个组成函数“后向”通过计算图的导数，然后将结果相乘即可得出总导数，如图 1-13 所示。

图 1-13：多输入函数后向通过计算图

代码

def multiple_inputs_add_backward(x: ndarray,
                                 y: ndarray,
                                 sigma: Array_Function) -> float:
    '''
    计算这个简单函数对两个输入的导数。
    '''
    # 计算前向传递结果
    a = x + y    # 计算导数
    dsda = deriv(sigma, a)

    dadx, dady = 1, 1

    return dsda * dadx, dsda * dady复制代码

当然，你可以修改以上代码，比如让 x 和 y 相乘，而不是相加。

接下来将研究一个更复杂的示例，该示例更接近于深度学习的工作原理：一个与前一示例类似的函数，但包含两个向量输入。

1.8　多向量输入函数

深度学习涉及处理输入为向量（vector）或矩阵（matrix）的函数。这些对象不仅可以进行加法、乘法等运算，还可以通过点积或矩阵乘法进行组合。前面提到的链式法则的数学原理，以及使用前向传递和后向传递计算函数导数的逻辑在这里仍然适用，本章剩余部分将对此展开介绍。

这些技术将最终成为理解深度学习有效性的关键。深度学习的目标是使模型拟合某些数据。更准确地说，这意味着要找到一个数学函数，以尽可能最优的方式将对数据的观测（将作为函数的输入）映射到对数据的目标预测（将作为函数的输出）。这些观测值将被编码为矩阵，通常以行作为观测值，每列则作为该观测值的数字特征。第 2 章将对此进行更详细的介绍，现阶段必须能够计算涉及点积和矩阵乘法的复杂函数的导数。

下面从数学维度精确定义上述概念。

数学

在神经网络中，表示单个数据点的典型方法是将  个特征列为一行，其中每个特征都只是一个数字，如  、 等表示如下：

这里要记住的一个典型示例是预测房价，第 2 章将从零开始针对这个示例构建神经网络。在该示例中， 、 等是房屋的数字特征，例如房屋的占地面积或到学校的距离。

1.9　基于已有特征创建新特征

神经网络中最常见的运算也许就是计算已有特征的加权和，加权和可以强化某些特征而弱化其他特征，从而形成一种新特征，但它本身仅仅是旧特征的组合。用数学上的一种简洁的方式表达就是使用该观测值的点积（dot product），包含与特征  等长的一组权重。下面分别从数学、示意图、代码等维度来探讨这个概念。

数学

如果存在如下情况：

那么可以将此运算的输出定义为：

注意，这个运算是矩阵乘法的一个特例，它恰好是一个点积，因为  只有一行，而  只有一列。

接下来介绍用示意图描绘它的几种方法。

示意图

可以通过一种简单的方法来描绘这种运算，如图 1-14 所示。

图 1-14：矩阵乘法（向量点积）示意图（一）

图 1-14 中的运算接受两个输入（都可以是 ndarray），并生成一个输出 ndarray。

对涉及多个输入的大量运算而言，这确实做了很大的简化。但是我们也可以突出显示各个运算和输入，如图 1-15 和图 1-16 所示。

图 1-15：矩阵乘法示意图（二）

图 1-16：矩阵乘法示意图（三）

注意，矩阵乘法（向量点积）是表示许多独立运算的一种简洁方法。这种运算会让后向传递的导数计算起来非常简洁，下一节将介绍这一点。

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