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丹阳市，江苏省辖县级市，由镇江市代管，位于江苏省南部，介于北纬31°44′～32°08′、东经119°23′～119°53′之间，总面积1047平方公里。丹阳属亚热带季风气候，具有气候湿润、光照充足、雨量丰沛、无霜期长、四季分明的气候特征。截至2019年，丹阳市辖2个街道、10个镇。常住人口80.63 万人。 [1] 

丹阳建置始于战国时期，初为云阳邑。《山海经》中有一条河叫“丹水”，即丹江，根据“山水阴阳，水北为阳”的理论命名丹阳。 [2]  1987年12月，丹阳撤县设市，为丹阳市，由镇江市代管。丹阳市与常州市新北区交界处建有常州奔牛国际机场，沪宁高速公路（G42沪蓉高速）、312国道、122省道、338省道等是通过公路出入丹阳的主要干道，水运有京杭大运河纵贯丹阳，大港港口是对外开放的长江第三大港。 [3] 

2019年，丹阳市实现地区生产总值1121.99亿元，同比增长4.7%。 [4]  2018年12月，入选全国县域经济综合竞争力100强，2018中国大陆最佳商业城市100强、中国最佳县级城市30强。 [5]  2019年10月8日，被评为2019年度全国综合实力百强县市。 [6]  2019全国营商环境百强县。 [7]  2019年国家卫生城市。 [8]  2020年12月，社科院发布《全国县域经济综合竞争力100强》，丹阳排名第40 [9]  。

1.11　向量函数及其导数：再进一步

当然，深度学习模型不止涉及一个运算，它们包括长链式运算，其中一些是 1.10 节介绍的向量函数，另一些则只是将函数逐元素地应用于它们接受的 ndarray（输入）中。现在来计算包含这两种函数的复合函数的导数。假设函数接受向量  和向量 ，执行 1.10 节描述的点积（将其表示为 ），然后将向量输入到函数  中。这里将用新的语言来表达同样的目标：计算这个新函数的输出相对于向量  和向量  的梯度。从第 2 章开始，本书将详细介绍它如何与神经网络相关联。现在只需大致了解这个概念，也就是可以为任意复杂度的计算图计算梯度。

数学

公式很简单，如下所示。

示意图

图 1-18 与图 1-17 类似，只不过在最后添加了函数 。

图 1-18：与图 1-17 类似，但在最后添加了另一个函数

代码

可以像下面这样编写本例中的函数。

def matrix_forward_extra(X: ndarray,
                         W: ndarray,
                         sigma: Array_Function) -> ndarray:
    '''
    计算涉及矩阵乘法的函数（一个额外的函数）的前向传递结果。
    '''
    assert X.shape[1] == W.shape[0]

    # 矩阵乘法
    N = np.dot(X, W)

    # 通过sigma传递矩阵乘法的输出
    S = sigma(N)

    return S复制代码

向量函数及其导数：后向传递

类似地，后向传递只是前述示例的直接扩展。

1. 数学

   由于  是嵌套函数，具体来说就是 ，因此该函数在  处的导数可以这样表示：

   

   第一部分很简单：

   

   这是一个很好的定义， 是连续函数，可以在任意点求导。在这里，只在  处对其求值。

   此外，我们在 1.10 节的示例中已经推断出 。因此，可以这样表达：

   

   与前面的示例一样，由于最终答案是数字  乘以  中的与  形状相同的向量，因此这个公式会得出一个与  形状相同的向量。
    

2. 示意图

   图 1-19 所示的这个函数的后向传递示意图与前面的例子类似，甚至不需要在数学上做过多解释。矩阵乘法的结果包含所计算的  函数的导数，只需要在这个导数的基础上再添加一个乘法。

   

   图 1-19：带有矩阵乘法的图：后向传递
    

3. 
   

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