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固安县，隶属河北省廊坊市。地处华北平原北部，京津保三角腹地，东经116°17'，北纬39°19'。东与永清县相连，西与保定的涿州市、高碑店市相邻，南与霸州市、雄安新区接壤，北隔永定河，与北京市大兴区相望。全县幅员面积696平方千米，下辖9个乡镇、1个省级园区，419个行政村，耕地65万亩，人口52万。 [1] 

固安地理位置优越。古有“天子脚下”之称，今有“京南明珠”美誉。距北京天安门50公里，距北京大兴国际机场8公里。

固安是京津冀实施“一线两厢”战略的“一线”前沿地带，也是廊坊城市建设“大三点”组团的重要支点。先后被国家有关部门授予“中国温泉之乡”、“中国花木之乡”、“中国钓具之乡”、“中国民间文化艺术之乡”、“中国矿泉水之乡”等称号。2014年，中国城市竞争力研究会18日公布了“2014中国县域成长竞争力排行榜”，廊坊市固安县跻身于50强，位居第42位，是河北唯一入围50强的县（市）。2015年，全国县域经济最具创新力十强排名，固安为河北唯一上榜的城市，位居第一。2018年11月，被科技部确定为首批创新型县（市）。 [2]  2018年12月，入选全国县域经济投资潜力100强。 [3]  2019年10月8日，入选2019年度全国投资潜力百强县市。 [4]  2019年度全国绿色发展百强县市，排名第82名。 [5]  2020中国夏季休闲百佳县市。 [6]  2020年5月，入选县城新型城镇化建设示范名单。 [7]  2021年3月，被授予 2020年河北省村庄清洁行动先进县（市、区）。

14.10.2　蕴涵

在给定表达式集{E1,E2,…,En}的情况下，就可以陈述表达式E 为真的含义了。如果每个对应{E1,E2,…,En}的模型M 也是对应E 的模型，就说{E1,E2,…,En}蕴涵（entail）表达式E。双十字转门（double turnstile）运算符⊧就表示蕴涵，如

E1，E2，…，En⊧E

我们需要凭直觉意识到每种解释都是一个可能存在的世界。当说E1，E2，…，En⊧E 时，也就是在说，在使表达式E1，E2，…，En为真的每个可能存在的世界中，E 都为真。

蕴涵的概念应该是与证明的概念形成对照的。如果我们有某个特定的证明系统，比如说分解证明，那么可以使用单十字转门（single turnstile）运算符⊦用同样的方式表示证明。也就是说，

E1，E2，…，En⊦E

意味着，对当前所拥有的推理规则集而言，存在从前提E1，E2，…，En到E 的证明。请注意，⊦运算符对不同的证明系统可能存在不同的含义。还要记住，虽然我们一般乐于使用当且仅当另一者为真时一者为真的证明系统，但是⊧和⊦不一定是相同的关系。

重言式与蕴涵之间有着密切联系。特别要指出的是，假设E1，E2，…，En⊧E。然后可以声明

(E1ANDE2AND…ANDEn)→E　　　　　　(14.24)

是重言式。若某解释I 使(14.24)左边为真，则I 是{E1,E2,…,En}的模型。因为E1，E2，…，En⊧E，所以I 一定也能使E 为真。因此I 使(14.24)为真。

其他的可能就只有I 使(14.24)的左边为假。这样一来，因为当蕴涵的左边为假时它恒为真，可知(14.24)还是为真。因此(14.24)是重言式。

反过来，如果(14.24)是重言式，则可以证明E1，E2，…，En⊧E。这里把这一证明留作本节习题。

请注意，我们的论证并不取决于涉及的表达式是命题逻辑表达式还是谓词逻辑表达式，或者是我们没有了解的某种其他逻辑的表达式。只需要知道，重言式是指那些所有“解释”都使之为真的表达式，而表达式或表达式集的模型是指令这一或这些表达式为真的某种解释。

14.10.3　可证性与蕴涵的比较

我们想要给定的证明系统允许我们证明所有为真的事物，而且不会证明为假的事物。也就是说，我们希望单十字转门和双十字转门符号表示相同的含义。如果只要某事物可证，它也就被蕴涵，那么该证明系统是相容的（consistent）。也就是说，E1，E2，…，En⊧E 蕴涵E1，E2，…，En⊦E。例如，我们在12.10节中讨论过为什么命题逻辑的推理规则是相容的。准确地讲，我们证明了，只要从前提E1、E2、…、En开始，并在证明中写出一行E，就有(E1ANDE2AND…ANDEn)→E 是重言式。根据上面论证过的，这就等同于表述E1，E2，…，En⊧E。

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