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磁县，隶属河北省邯郸市。古称磁州，是中国磁州窑文化的发祥地。位于中原经济协作区中心地带，晋、冀、鲁、豫四省通衢，与石家庄、郑州、太原、济南4个省会城市的距离均在200公里左右。 [1]  2019年，磁县辖11个乡镇，地域面积688平方公里，总人口50万人。地势西高东低，西部属太行山东麓，东部为山前冲积平原，山区、丘陵、平原各占三分之一。 [2] 

磁县自公元222年设县，迄今已1800多年。 [1]  磁县的旅游景点有鼓楼、贺兰山、河北纸马、磁州窑博物馆等旅游景点。盛产柿子、花椒、核桃、松花蛋等特产。

12.7.2　重言式问题

重言式问题就是测试某给定逻辑表达式是否等价于TRUE，也就是说，测试该表达式是否为重言式。有一种简单方式可以解决该问题。为该表达式构建真值表，其中每一行对应表达式中各变量的一种真值赋值。然后为该表达式的表达式树中各个内部节点创建一列，并按照合适的从下到上的次序，针对变量的各种真值赋值为各个节点求值。当且仅当对每种真值赋值而言整个表达式的值都是1（TRUE）时，该表达式是重言式。示例12.18就展示了这一过程。

12.7.3　重言式测试的运行时间

如果表达式有k 个变量和n 个运算符，那么这种真值表就有2k 行和n 列需要填写。因此我们可以预期这种算法的简单实现要花O(2kn) 的时间。这一时间对只有两三个变量的表达式来说并不长，即便是对20个变量来说，用计算机也只需要几分钟就能完成测试。不过，对30个变量而言，有10亿行，就算是使用计算机，也几乎没法完成这一测试。这一结果是用到指数时间算法的典型下场。对较小的实例来说，一般看不出什么问题。但随着问题实例变大，突然间我们会发现，即使有着速度最快的计算机，也不可能在可以接受的时间内解决这个问题。

图 12-22　P 是可在多项式时间内解决的问题族，NP 是可在非确定多项式时间内解决的问题族，NPC 则是NP 完全问题族

固有的难解问题

重言式问题“E 是否为重言式”看似天生是指数时间的问题。也就是说，如果表达式E 中有k 个变量，所有已知解决重言式问题的算法的运行时间都是k 的指数函数。

存在这样一类称为NP完全问题的问题，其中包含了很多重要的优化问题，而没人知道如何在少于指数时间的时间内解决这些问题。很多数学家与科学家经过长时间的艰难尝试，试着为这些问题中至少一个问题找到运行时间少于指数时间的算法，不过这样的算法还没被找到过，而很多人现在怀疑根本不存在这样的算法。

可满足性问题（satisfiability problem）就是一个经典的NP完全问题，这个问题是说“是否存在一种真值赋值让逻辑表达式为真？”可满足性问题与重言式问题有着密切的关系，而且就像重言式问题一样，对可满足性问题来说，也没有比循环经历所有可能的真值赋值好更多的解决方案了。

要么所有的NP完全问题都具有少于指数时间的解决方案，要么所有的NP完全问题都没有这样的解决方案。因此各NP完全问题看似需要指数时间这一事实让我们更加相信这些问题天生是指数时间的问题。有很强的迹象表明这种简单的可满足性测试就是最好的做法了。

顺便提一句，NP代表“非确定多项式”（Nondeterministic Polynomial）。粗略地讲，“非确定”就意味着“猜测正确的能力”，正如10.3节中讨论过的。如果为针对某个大小为n的实例的解决方案给出一次猜测，我们可以在多项式时间（也就是对某常数c 而言的时间nc）内验证该猜测是正确的，就说该问题能在“非确定多项式时间内解决”。

可满足性是这种问题的一个例子。如果为变量给出一组声明（或者说猜测）为可以使表达式E 得到值1的真值赋值，我们可以将赋值代入操作数为E 求值，并在至多为E 的长度的二次方的时间内验证该表达式是否得到满足。

像可满足性问题这样可以通过猜测加上多项式时间的验证来“解决”的这类问题称为NP 问题。有一些NP 问题其实是相当简单的，不经过猜测就可以解决，而且只需要花输入长度的多项式的时间。不过，有很多NP 问题被证实非常难，而这些问题就是NP完全问题。（不要把这里表示“这类问题中最难”的“完全”，与之前表达式“能表示每个布尔函数”的“运算符完全集”中的“完全”弄混了。）

在多项式时间内不通过猜测就可以解决的问题族通常称为P。图12-22展示了P、NP 和NP完全问题之间的关系。如果任何NP完全问题在P 中，那么p=NP，我们会非常怀疑这种情况，因为所有已知的NP完全问题以及一些其他的NP 问题，都不会出现在P 中。没人相信重言式问题会在NP 中，不过它的难度不低于NP 中的任何问题（被称为NP 难题），而且如果重言式问题在p 中，那么有p=NP。

12.7.4　习题

1. 以下表达式中哪些是重言式？

(a) pqr →p+q

(b) ((p→q)(q→r ))→(p→r )

(c) (p→q)→p

(d) 

2. * 假设有一种为逻辑表达式解决重言式问题的算法，说明如何用这种算法实现下列目的。

(a) 确定两个表达式是否等价。

(b) 解决有关可满足性的问题（见上文附注栏“固有的难解问题”）。

12.8　逻辑表达式的一些代数法则

在本节中，我们将列举一些实用的重言式。在各种情况中，我们都只陈述法则，而将重言式的验证工作留给读者通过构造真值表来完成。

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