【建站服务】承德网站建设【承德网络公司】承德做网站、承德微信公众号开发、承德网站设计、承德小程序制作-域名申请

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作者: 风兰 . 阅读量： 4 . 发表时间：2022-09-20 15:11:03

网站建设

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承德网站建设【承德网络公司】承德做网站、承德微信公众号开发、承德网站设计、承德小程序制作

承德，河北省地级市，河北省政府批复确定的河北国际旅游城市、连接京津辽蒙的区域性中心城市 [1] 。截至2019年，全市下辖3个区、4个县、代管1个县级市和3个自治县，总面积39519平方公里，常住人口347.32万人，城镇人口180.85万人，城镇化率52.07%。 [2]

承德地处中国东北地区、河北省东北部，南邻京津，北接赤峰和锡林郭勒，东西与朝阳、秦皇岛、唐山、张家口相邻，距省会石家庄435公里，距北京225公里。 [3] 是连接京津冀辽蒙的重要节点，具有“一市连五省”的独特区位优势，是国家甲类开放城市，中国普通话标准音采集地、中国摄影之乡、中国剪纸之乡。 [4]

承德是首批国家历史文化名城，1703年清康熙修建避暑山庄，成为清王朝的第二个政治中心；1723年设热河厅；1733年雍正取“承受先祖德泽”之义；赐字“皇承天德”释义先皇秉承天地化育万物的恩德； [5] 设承德直隶州，始称“承德”；民国和解放初期为原热河省省会；1955年，热河省建制撤销，承德划归河北省，为省辖市。承德的避暑山庄及其周围寺庙是中国十大风景名胜、旅游胜地四十佳、国家重点风景名胜区，被联合国教科文组织批准为世界文化遗产，也是国家首批世界文化遗产。 [4]

2012年，承德被评为中国“十大特色休闲城市”。2016年11月，承德市被中华人民共和国国家旅游局评为第二批国家全域旅游示范区。2017年10月，承德市入选国家森林城市。 [6] 2017年12月，获得“厕所革命优秀城市奖”。

5.2.2　路径、祖先和子孙

这种父子关系可以自然而然地扩展为祖先和子孙的关系。粗略地讲，节点的祖先就是从节点到其父节点，再到其父节点的父节点，以此类推，顺着这样一条唯一路径找到的那些节点。严格地讲，节点本身也是其自身的祖先节点。而子孙关系则是祖先关系的反向关系，像父子关系这样就是互为反向关系。也就是说，当且仅当节点a 为节点d 的祖先节点时，节点d 才是节点a 的子孙节点。

更严谨地讲，假设m1、m2、…、mk 是树中的一系列节点，其中m1是m2的父节点，m2是m3的父节点，以此类推，直到mk-1是mk 的父节点。那么m1、m2、…、mk 就是该树中从m1到mk 的一条路径。路径的长度为k-1，比路径上的节点数小1。请注意，路径可能是由单个节点构成的，这种情况下路径的长度就为0。

示例 5.2

在图5-1中，n1、n2、n6是从根节点n1到节点n6的一条长度为2的路径，n1是从n1到它自己的一条长度为0的路径。

如果m1、m2、…、mk是树中的一条路径，节点m1就是mk 的祖先，而节点mk 则是m1的子孙。如果该路径的长度不小于1，那么m1就是mk 的真祖先，而mk 则是m1的真子孙。还要记住，路径长度可能为0，在这种情况下，我们就可以得出m1是其自身的祖先也是其自身的子孙这一结论，虽然它不是自己的真祖先或真子孙。树的根节点是树中每个节点的祖先，而树中每个节点都是根节点的子孙。

示例 5.3

在图5-1中，7个节点全都是n1的子孙，而n1是所有节点的祖先。此外，除n1之外的所有节点都是n1的真子孙，而n1也是除了它自己之外的所有节点的真祖先。n5、n2和n1都是n5的祖先。而n4的子孙有n4和n7。

具有相同父节点的节点有时也称为兄弟节点。例如，在图5-1中，n2、n3和n4就互为兄弟节点，而n5和n6互为兄弟节点。

5.2.3　子树

在树T 中，某个节点n，与其所有真子孙（若存在的话），就构成了T 的子树。而节点n 就是该子树的根节点。请注意，子树要满足3个条件才能构成树：它有根节点；子树中其他节点在该子树中都有唯一的父节点；此外，沿着该子树中任意节点的父节点回溯，最终都能达到该子树的根节点。

示例 5.4

再来看图5-1，节点n3自己就是棵子树，因为n3除了它自己之外没有别的子孙。而节点n2、n5和n6也构成了一棵子树，因为这些节点都是n2的子孙。不过，在没有节点n5的情况下，n2和n6两个节点本身是不能构成子树的。最后，图5-1中的整棵树都是它自己的子树，其中根节点为n1。

5.2.4　叶子节点和内部节点

树中没有子节点的节点就是叶子节点。内部节点是指至少有一个子节点的节点。因此，树中的每个节点要么是叶子节点，要么是内部节点，但不可能同时是这两者。树的根节点通常是内部节点，不过，如果该树只由一个节点组成，那么该节点就既是根节点也是叶子节点。

示例 5.5

在图5-1中，n5、n6、n3和n7都是叶子节点，而n1、n2和n4则是内部节点。

5.2.5　高度和深度

在树中，节点n 的高度是指从n 到叶子节点最长路径的长度，树的高度就是根节点的高度。而节点n 的深度，或者说等级（level），就是从根节点到n 的路径的长度。

示例 5.6

在图5-1中，节点n1的高度为2，n2的高度为1，而叶子节点n3的高度为0。其实，任意叶子节点的高度都为0。图5-1中，树的高度为2。节点n1的深度为0，n2的深度为1，n5的深度为2。

5.2.6　有序树

另外，可以为任意节点的子节点指定从左到右的顺序。例如，图5-1中n1的子节点最左边是n2，然后是n3，再然后是n4。这一从左到右的排列方式可以扩展到为树中的所有节点排列顺序。如果m和n是兄弟节点，而m在n的左边，那么m的子孙全都在n的子孙的左边。

示例 5.7

在图5-1中，根为n2的子树中所有节点（也就是n2、n5和n6）都在根为n3和n4的子树所有节点的左边。因此，n2、n3和n6都在n3、n4和n7的左边。

在树中选择任意两个互不存在祖先关系的节点x 和y。由于有着“在左边”的定义，x 和y 中其中有一个是在另一个的左边。要分辨哪个在哪个左边，就要从x 和y 开始沿着路径向根节点回溯。而在某一点，可能是根节点，也可能是较低的点，这两条路径会在某个如图5-2所示的节点z 相遇。从x 和y 到z 的路径分别要经过两个不同的节点m 和n，可能有m=x且（或）n=y，但一定有m≠n，否则这两条路径在z 以下的某个位置就融合了。

图 5-2　节点x 在节点y 的左边

假设m 在n 的左边。那么因为x 在根为m 的子树中，而y 在根为n 的子树中，所以有x 在y 的左边。同样，如果m 在n 的右边，那么x 也就在y 的右边。

示例 5.8

因为叶子节点不可能是其他叶子节点的子孙节点，所以所有叶子节点的顺序都遵循“从左起”的原则。例如，图5-1中所有叶子节点的顺序是n5、n6、n3、n7。

5.2.7　标号树

标号树（labelled tree）是指树中每个节点都有与之关联的标号或值的树。我们可将标号视为与给定节点相关联的信息。标号可以是很简单的内容，比如一个整数；也可以是复杂的内容，比如整个文档中的文本。我们可以改变节点的标号，但不能改变节点的名称。

如果节点的名称不重要，就可以用节点的标号来表示它。不过，标号并不总是能为节点提供唯一名称，因为若干个节点可能有着同一标号。因此，很多时候在绘制节点时既会标上其标号，也会标上其名称。下面的一些图展示了标号树的概念，并提供了一些示例。

5.2.8　表达式树——一类重要的树

算术表达式可以用标号树表示，而且将表达式直观表示为树往往是非常有意义的。其实，表达式树（expression tree）顾名思义就是以统一的方式指定了表达式的操作数与操作符之间的关联，不论这种关联是表达式中括号的放置需要的，还是所涉及运算符的优先级和结合规则需要的。

回想一下2.6节中对表达式的讨论，特别是示例2.17，我们在该例中给出了涉及常见算术运算符的表达式的递归定义。通过对表达式递归定义的模拟，就可以递归地定义对应的标号树。大致的概念就是通过将运算符应用到较小表达式上以构成更大的表达式，我们会创建标号为该运算符的新节点。该新节点就成为了表示较大表达式的树的根节点，而它的子节点就是表示较小表达式的树的根节点。

例如，可以按照如下方式，定义表示使用二元运算符+、-、×、/及一元运算符-的算术表达式的标号树。

依据。单个原子操作数（比如一个变量、一个整数或一个实数，如2.6节介绍的）是表达式，它的树就是标号为该操作数的一个节点。

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图 5-3　(E1(E2)和-E1的表达式树

归纳。如果E1和E2这两个表达式分别是由树T1和T2表示的，那么表达式(E1+E2)就是由图5-3a所示的树表示的，其根节点标号为+。该根节点有两个子节点，依次分别是树T1和T2的根节点。同样，表达式(E1-E2)、(E1×E2)和(E1/E2)分别有着根节点标号-、×和/，且子树均为T1和T2的表达式树。最后，可以将一元减号运算符应用到表达式E1上。这里引入了标号为-的根节点，而其唯一的子节点是T1的根节点，表示(-E1)的树如图5-3b所示。