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衡水，河北省地级市，位于河北省东南部，介于东经115°10′-116°34′，北纬37°03′-38°23′之间，东部与沧州市和山东省德州市毗邻，西部与石家庄市接壤，南部与邢台市相连，北部同保定市和沧州市交界，总面积8815平方公里。 [1-2]  衡水市地处河北冲积平原，地势自西南向东北缓慢倾斜，海拔高度12米～30米。属大陆季风气候区，为温暖半干旱型，是京津重要的农副产品加工供应基地。衡水属于环渤海经济圈和首都经济圈的“1+9+3”计划京南区，为环渤海区域合作市长联席会议成员市，被费孝通称为“黄金十字交叉处”。 [2-5] 

衡水所辖冀州为九州之首。河北省称冀，也缘于此，涌现出了董仲舒、孔颖达、高适、孙犁等知名人物。截至2016年，衡水有国家级非物质文化遗产保护项目6项，省级非遗保护项目33项，市级非遗保护项目55项，境内有衡水湖、武强年画博物馆、冀州城等旅游景点。 [2]  [6-8] 

截至2019年末，衡水市辖2个市辖区，1个县级市，8个县，户籍人口457.8万人，常住人口448.6万人；实现生产总值1504.9亿元，人均生产总值33599元。 2019年10月23日，被确定为“第三批城市黑臭水体治理示范城市”。

线性时间的专用排序算法

如果对排序算法可以处理的输入加以限制，就可以在一个步骤中将可能的次序分为2个以上的部分，因此会让运行时间少于与n logn成正比的时间。下面讲一个简单例子，如果输入是n个从0到2n-1之间的不同整数，它就能起作用。

(1)  for (i = 0; i < 2*n;="" i++)="" (2)="" count[i]="0;" (3)="" for="" (i="0;" i="">< n;="" i++)="" (4)="" count[a[i]]++;="" (5)="" for="" (i="0;" i="">< 2*n;="" i++)="" (6)="" if="" (count[i]=""> 0)(7)          printf("%d
", i);复制代码

假设输入为长度为n 的数组a。在第(1)行和第(2)行，我们将长度为2n 的数组count初始化为0。接着，在第(3)行和第(4)行中，若x 为第i 个输入元素a[i]的值，则为x的计数加上1。在最后3行代码中，要打印出count[i]为正的各个整数i。因此，要打印那些在输入中至少出现过一次的元素，而之前假设了输入中各元素都是不同的，所以这段代码会将所有的输入元素按照从小到大的顺序打印出来。

分析该算法运行时间很容易。第(1)行和第(2)行是一个会迭代2n次的循环，而且其循环体的运行时间为O(1)。因此，该循环的运行时间为O(n)。同理，第(3)行和第(4)行的循环运行时间也是O(n)，只不过它的迭代次数是n。最后，第(5)行至第(7)行所示循环的循环体运行时间为O(n)，而它会迭代2n次。因此，这3个循环的运行时间均为O(n)，而整个排序算法的运行时间同样是O(n)。请注意，如果给定的输入没有为该算法进行过处理，比如输入中含有超出从0到2n-1范围的整数，那么上面的程序就无法正确排序。

我们只是证实了任意通用排序算法都一定有某些能让它们进行n log2n或更多次比较的输入。因此，任意通用排序算法在最坏的情况下肯定至少要花上与n logn成正比的时间。其实，可以证明，这一点同样适用于“平均的”输入。也就是说，通用排序算法处理所有输入平均所花的时间一定至少与n logn成正比。因此，归并排序基本上就是我们能做的最佳算法了，因为它处理所有输入都有着这样的大O运行时间。

4.3.3　习题

1. 假设已经为棒球队选择了9名队员。

(a) 可能存在多少种击球次序？

(b) 如果投手必须最后击球，那么可能有多少击球次序？

2. 如果要为4个元素排序，那么图2-2中的选择排序算法要进行多少次比较？这是不是可以达到的最优数字？给出该情况下判定树（具有如图4-5所示样式）最上面的3层。

3. 2.8节介绍的归并排序算法在处理4个元素时要进行多少次比较？这是否为可达到的最优数字？给出该情况下判定树（具有如图4-5所示样式）最上面的3层。

4. * 将n个值分配给n个项的数目多，还是n+1个项的排列数多？请注意：对不同的n来说，答案可能不同。

5. * 将n/2个值分配给n个项的数目是否多于n个项的排列数？

6. ** 说明如何在O(n)时间内为范围在0到n2-1之间的n个整数排序。

4.4　有序选择

有时候我们会希望只从集合中选出某些项，并为它们排定顺序。这里将4.3节中介绍过的为排列计数的函数Π(n)一般化为双参数的函数Π(n,m)，用该函数表示从n个项中选出m项排定次序的方法数，不过对未选定的项来说没有次序可言。因此Π(n)=Π(n,n)。

示例 4.5

赛马比赛会为前三名完成比赛的赛马颁奖。假设有10匹马参赛，那么冠亚季军的排列情况共有多少种呢？

显然，10匹马中的任意一匹都可能赢得比赛。如果给定了获得冠军的马匹，那么剩下的9匹马可以任意排序。因此前两名马匹的选择共有10×9=90种。对每种选择而言，都会剩下8匹赛马，其中任意一匹都可能获得季军。因此，冠亚季军的选择方式共有90×8=720种。图4-6展示了所有可能的选择，重点突出了首先选择3号之后选择1号的情况。

图 4-6　从10项有序地选出3项的情况

4.4.1　无放回选择的一般规则

现在来推导一下Π(n,m)的公式。顺着示例4.5的思路，可知第一次选择时有n种选择。不管第一次作出了怎样的选择，都会剩下n-1个元素有待选择。因此，第二次选择有n-1种不同的方式。前两次选择总共有n(n-1)种方式。类似地，进行第三次选择时还剩n-2个未选取的项，所以第三次选择共有n-2种不同的方式。因此，前三次选择总共可以有n(n-1)(n-2)种方式。

继续用这种方式处理，直到作出m次选择。每次选择都比之前一次的选择少一项。结论就是，从n个项中不放回但有次序地选出m个项，总共有

Π(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)　　　　　　(4.3)

种不同的方式。也就是说，表达式(4.3)是从n开始依次倒数的m个整数的积。

还可以将(4.3)式写为n!/(n-m)!。也就是

分母是从1到n-m这些整数的积。而分子则是从1到n这些整数的积。因为分子和分母中后n-m个因子(n-m)(n-m-1)…(1)是相同的，所以将这些项约去，就得到

这一公式与(4.3)式是相同的，这样就证实了Π(n,m)=n!/(n-m)!。

示例 4.6

考虑一下示例4.5中的情况，其中n=10且m=3。不难看出，Π(10,3)=10×9×8=720。(4.3)式表示Π(10,3)=10!/7!，或者说是

从1到7这些因数同时出现在分子和分母中，因此要约去这些因数。结果就得到8、9、10这三个数字的积，就是10×9×8，正如我们在示例4.5中看到的那样。

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