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秦皇岛，简称“秦”，别称港城、临榆，是河北省地级市，国务院批复确定的中国环渤海地区重要的港口城市，著名的滨海旅游、休闲、度假胜地 [1]  。截至2019年，全市下辖4个区、3个县，总面积7813平方千米，常住人口314.63万人，城镇人口191.04万人，城镇化率60.72%。 [2] 

秦皇岛地处中国华北地区、河北东北部、南临渤海，是中国首批沿海开放城市、首都经济圈的重要功能区、京津冀辐射东北的重要门户和节点城市 [3]  ，华北、东北和西北地区重要的出海口、全国性综合交通枢纽、京津冀协同发展与振兴东北老工业基地两大国家战略的交汇点，是中国最早的自主通商口岸、中国最大铝制品生产加工基地、北方最大粮油加工基地，被誉为“车轮制造之都”。 [4-5] 

秦皇岛因秦始皇东巡至此派人入海求仙而得名，是中国唯一一个因皇帝帝号而得名的城市，因《浪淘沙·北戴河》而闻名遐迩，汇集了丰富的旅游资源，是驰名中外的旅游休闲胜地，山海关区是国家历史文化名城 [6]  。秦皇岛作为国家创新型城市试点，拥有13所高等院校，八十余名享受国务院特殊津贴专家，15万名在校大学生，人才密度居全省首位 [7]  。

秦皇岛曾获中国最美海滨城市、全国十佳生态文明城市、中国北方最宜居城市、中国最佳休闲城市、中国最具爱心城市、中国最具幸福感城市等荣誉。秦皇岛曾协办北京亚运会和北京奥运会，是中国唯一协办过奥运会和亚运会的地级市。2017年获全国文明城市称号。2018年获得国家森林城市称号。

5. 考虑图2-13所示程序中的n，找出自己的计算机能处理的n 的最大值。定长整数对证明程序的正确有什么影响？

6. 通过对图2-10中程序循环的次数进行归纳，证明在第一次循环后j>i+1。

2.6　递归定义

在递归定义（或归纳定义）中，我们用一类或多类紧密相关的对象或事实本身来对它们进行定义。这种定义一定不能是无意义的，比如“某个部件是某个有某种颜色的部件”，也不能是似是而非的，比如“当且仅当某事物不是glotz时它才是glotz”。归纳定义涉及：

1. 一条或多条依据规则，在这些规则中，要定义一些简单的对象；

2. 一条或多条归纳规则，利用这些规则，通过集合中较小的对象来定义较大的对象。

示例 2.15

在2.5节中我们通过迭代算法定义了阶乘函数：将1×2×…×n 相乘得到n!。其实，还可以按照以下方式递归地定义n!的值。

依据。1!＝1。

归纳。n!＝n×(n-1)!。

例如，依据告诉我们1!＝1。这样就可以在归纳步骤中使用该事实，得到n=2时

2!=2×1!=2×1=2

对n=3、4和5，有

1!=3×2!=3×2=6

　4!=4×3!=4×6=24

　　5!=5×4!=5×24=120

等等。请注意，虽然术语“阶乘”看起来就是用自身来定义的，但在实践中，可以只通过值较小的n 的阶乘，得到值逐步增大的n 对应的n!的值。因此，我们具备了有意义的“阶乘”定义。

严格地讲，应该证明，n!的递归定义可以得出与原来的定义相同的结果，

n!=1×2×…×n

要证明这一点，就要证明如下命题。

命题S(n)。按照上述方式递归地定义的n!，等于1×2×…×n。

通过对n的归纳来完成证明。

依据。S(1)显然成立。递归定义的依据告诉我们1!＝1，而且1×…×1（即“从1到1”这些整数的积）的积显然也等于1。

归纳。假设S(n)成立，也就是说，由递归定义给出的n!等于1×2×…×n。而递归定义告诉我们

(n+1)!=(n+1)×n!

如果应用乘法交换律，就有

(n+1)!=n!×(n+1)　　　　　　(2.11)

由归纳假设可知

n!=1×2×…×n

因此，可以用1×2×…×n替换等式(2.11)中的n!，就可以得到

(n+1)!=1×2×…×n×(n+1)

这也就是命题S(n+1)。这样就证明了归纳假设，并证明了对n!的递归定义与迭代定义是相同的。

图2-15显示了递归定义的一般本质。它在结构上与完全归纳类似，都含有无限的实例序列，每个实例都依赖于之前的任一或所有实例。我们通过应用一个或多个依据规则开始。接下来的一轮归纳，要对已经得到的内容应用一条或多条归纳规则，从而建立新的事实或对象。再接下来的一轮归纳，再次对已经掌握的内容应用归纳规则，获得新的事实或对象，以此类推。

图 2-15　在归纳定义中，要一轮一轮地建立对象，在某一轮建立的对象可能会依赖于之前所有轮次建立的对象

在定义阶乘的示例2.15中，我们从依据情况得到了1!的值，应用一次归纳步骤得到2!，应用两次归纳步骤得到3!，等等。这里的归纳具有“普通”归纳的形式，在每一轮的归纳中，都只用到在前一轮归纳中得到的内容。

示例 2.16

在2.2节中，定义了词典顺序的概念，当时的定义是具有迭代性质的。粗略地讲，通过从左起比较对应符号ci 和di，测试字符串c1…cn是否先于字符串d1…dm，直到找到某个值i 令ci ≠di，或者到达其中一个字符串的结尾。以下的递归定义定义了字符串对w 和x，其中w 在词典顺序上要先于x。从直观上讲，要对两个字符串从开头起相同字符对的数目进行归纳。

依据。该依据涵盖了那些我们能立即分出字符顺序先后的字符串对。依据包含如下两个部分。

1. 对任何不为ε 的字符串w，都有ε<w。回想一下，ε 表示空字符串，也就是不含字符的字符串。

2. 如果c<d，其中c 和d 都是字符，那么对任何字符串w 和x，都有cw<dx。

归纳。如果字符串w 和x具有w<x 的关系，那么对任意字符c，都有cw<cx。

例如，可以使用以上定义表明base<batter。根据依据的规则(2)，有c=s，d=t，w=e，x=tter，因此有se<tter。如果应用递归规则一次，有c=a，w=e，以及x=tter。最后，第二次应用递归规则，有c=b，w=ase，以及x=atter。也就是说，依据和归纳步骤是如下这样的：

se      <    tter
ase     <    atterbase    <    batter复制代码

还可以按照以下方式证明bat<tter。依据的部分(1)告诉我们，ε<ter。如果应用递归规则3次，其中c依次等于t、a和b，就可以进行如下推理：

ε      <    ter
t      <    tter
at     <    atter
bat    <    batter复制代码

现在应该对两个字符串从左端起相同的字符数进行归纳，证明当且仅当字符串按照刚给出的递归定义排在前面之时，才能按照2.2节中的定义得出它也排在前面的结论。我们还留了两个归纳证明的习题。

在示例2.16中，如图2-15所示的事实组是很大的。依据情况给出了所有w<x 的事实，不管是w=ε，还是w 和x 以不同字符开头。使用归纳步骤一次，就给出当w 和x 只有第一个字母相同时，所有w<x 的情况；第二次使用，就给出了那些当w 和x 只有前两个字母相同时的所有情况，以此类推。

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