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沧州市，河北省地级市，地处河北省东南部、河北平原东部的黑龙港流域，位于北纬37°29′～38°57′，东经115°42′～117°50′之间。东部滨临渤海，北部与天津、廊坊接壤，西部及西南部与保定、衡水毗邻，南隔漳卫新河与山东省的滨州、德州相望。

沧州市因濒临渤海而得名，市中心北距天津市120千米、北京市240千米，西南距省会石家庄220千米。沧州市辖2个市辖区，4个县级市，10个县及沧州渤海新区、沧州经济开发区、沧州高新技术产业开发区，总面积1.4万平方公里。 [1-3] 

2020年10月，入选河北省第一批新型智慧城市建设试点名单。

习题

1. 证明：图2-31b中的PrintList函数会打印出作为参数传入的表中的元素。需要递归证明的命题S(i )是什么？作为依据的i 值是多少？

2. 图2-32中的sum函数可以计算给定表中各元素之和，该表中的单元具有1.6节中的DefCell宏所定义的常见类型，这些类型在2.8节中的归并排序程序中使用过。它是通过将第一个元素加在剩余元素的和上计算所有元素之和的，而这里提到的剩余元素之和，是通过对表剩余部分递归调用该函数计算的。证明：sum函数可以正确地计算表元素之和。需要归纳证明的命题S(i )是什么？作为依据的i 值是多少？

DefCell(int, CELL, LIST);int sum(LIST L){
    if (L == NULL) return 0;
    else return(L->element + sum(L->next));}int find0(LIST L){
    if (L == NULL) return FALSE;
    else if (L->element == 0) return TRUE;
    else return find0(L->next);}复制代码

图 2-32　递归函数sum和find0

3. 如果表中的元素至少有一个为0，那么图2-32中的find0函数会返回TRUE，否则就返回FALSE。如果表为空，它就返回FALSE，而如果第一个元素是0，就返回TRUE，不然的话，就对表其余部分执行递归调用，并返回为剩余部分生成的任何答案。证明：find0可以正确地确定表中是否出现元素0。需要归纳证明的命题S(i )是什么？作为依据的i 值是多少？

4. * 证明：图2-24中的merge函数和图2-27中的split函数会按2.8节中所说的那样执行。

5. 用“最少反例”直观地证明从以0和1两个值为依据开始的归纳证明是有效的。

6. ** 证明2.7节习题8中用C语言实现的递归的最大公约数算法的正确性。

2.10　小结

我们从本章学习到了以下知识。

• 归纳证明、递归定义和递归程序是紧密相关的概念。它们要想“起作用”，都依赖于依据和归纳步骤。

• 在“普通归纳”或者说是“弱归纳”中，成功的那一步骤只依靠它的前一个步骤。我们经常需要进行完全归纳证明，而完全归纳中每个步骤都取决于之前的所有步骤。

• 进行排序的方法有很多。选择排序是一种简单但速度很慢的排序算法，而归并排序是一种速度比较快但比较复杂的算法。

• 归纳是证明程序或程序段能正确运转的关键。

• 分治法是一种用来设计某些优秀算法（比如归并排序）的实用技术。它的工作原理是将问题分为独立的子部分，然后将得到的结果结合起来。

• 表达式天生是由它们的操作数和运算符按照递归方式定义的。运算符可以按照它们接受参数的数量来分类：一元运算符（一个参数）、二元运算符（两个参数）以及k 元运算符（k 个参数）。还有，出现在两个操作数之间的二元运算符是中缀运算符，而出现在操作数之前的是前缀运算符，出现在操作数之后的则是后缀运算符。

2.11　参考文献

Roberts [1986]对递归进行了极佳的介绍。要了解更多与排序算法有关的内容，Knuth [1973] 是标准的参考之作。Berlekamp [1968]讲述了从比特流中检测和收集错误的技术（2.3节介绍的是最简单的检错模式）。

Berlekamp, E. R. [1968]. Algebraic Coding Theory, McGraw-Hill, New York.

Knuth, D. E. [1973]. The Art of Computer Programming, Vol. III: Sorting and Searching, Addison-Wesley, Reading, Mass.

Roberts, E. [1986]. Thinking Recursively, Wiley, New York.

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